また、"believe"と"trust"の違いは、"believe"が相手の言うことを"real, true"と受け取るのに対して、"trust"は相手に"faith"を持つことです。"believe in"となると、"trust"の意味になります。

Don't worry.I believe you.
心配するな。君の言うことを信じるよ。
このように"believe somebody"となると、"to feel sure that somebody is telling the truth"「〜の言うことを信じる」という意味になります。

Do you believe in God?
あなたは神様を信じますか？
この場合、"believe in〜"は"feel sure of the existence of〜",つまり「〜の存在を信じる」という意味です。もちろん、「神様の存在を信じる」ということは「神様を信じる」ということになりますね。

When a husband and wife don't believe in each other,that is the end.
夫婦がお互い信じられなくなったら、おしまいだ。
"believe in〜"は、ここでは"trust"や"have faith in",つまり「信頼する」という意味で使われています。「夫婦間の信頼」は、「相手の言うこと」だけでなく「相手自身」を信用する事なので、"believe in"が用いられるわけです。

I believe more in diet than in drugs.
薬より食事療法の方が効くと信じている。
ここでは、"believe in〜"は"trust"という意味から、存在自体の問題だけではなく、よしあしの問題に発展しています。つまり、「これはいい！」と信じている、という感じです。

I don't believe in mass education when it comes to languages.
語学に関しては、多人数での教育は効果的だとは思わない。
この場合も、"believe in〜"は4と同じように"trust"の意味から、よしあしを述べる意味で使われています。この文では教育の話なので、"I don't believe in〜"は日本語で言えば「効果的でない」や「意味がない」といった表現が適当ですね。

Believe it or not,Tom is 70 years old.
信じられないかもしれないけど、トムは70歳なんだよ。
"believe it or not"は、"whether you believe it or not"(信じても信じなくても)ということで、信じがたいことを言うときに強調するために使われます。日本語で言えば、「信じられないかもしれないけど」や「驚くなかれ」と言った表現になるでしょうか。

Oh,my God!I don't believe this.
えっ！うそでしょ！
この"I don't believe this."は、驚きを表します。直訳すると「私はそんなことは信じません」となりますが、日本語で言う「うそでしょ！」というような意味で、口語でよく"I don't believe this."と表現します。

When I saw the sight,I couldn't believe my eyes.
その光景を見た時、私は自分の目を疑った。
ここでは"believe"は「信用する、信頼する」という意味で使われています。"I can't believe my eyes"は、「自分の目が信じられない」、「何かを見て非常に驚く」ということです。日本語でよく言う「自分の目を疑う」という表現がピッタリです。

When I heard him play the piano,I couldn't believe my ears.
彼のピアノを聞いて、私は自分の目を疑った。
8の"I can't believe my eyes"は、「目で見て驚く」という意味でした。ここでは、目でなく「耳で何かを聞いて驚く」という意味です。これも、日本語で言うと「自分の耳を疑う」という表現になりますね。

Believe me, this is the right way.
大丈夫。この道でいいんだから。
「こっちだよ」と言うのに、「えーっ、そう？」と、あまり信用されていない時に、このように"Believe me."と言うわけです。「私の言うことを信用して」という意味です。つまり、前後に言っていることを強調する意味で使われています。

This is the best thing you can find.You'd better believe it.
これは、もう最高の品物です。本当ですよ。
何かを買おうとしている時に、店の人がセールストークで、よくこんなことを言ってますね。"You'd better believe it."は、やはり「強調」の意味で使われています。日本語にすれば、「本当ですよ」という感じです。また、特に訳さないで、「もう最高の品物なんですから」とい
Let's make believe that we are creatures from outer space.
みんな宇宙人になったつもりで。
"make believe"は、"pretend"(〜のふりをする)という意味です。「本当だと思うようにする」から、"pretend"という意味になるわけです。